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予備試験_一般教養_数学対策/今から間に合う行列入門

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いつも読んでくださり,ありがとうございます。
今日は,予備試験の一般教養対策に,数学の「行列」という分野を扱ってみようと思います。
「行列ってなに?」という方のため簡単に説明しますと,数字や文字を縦・横に,長方形上に並べ,かっこでくくったものです。横方向の数字・文字を「行」,縦方向の数字・文字を「列」といいます。コンピュータプログラムやAIなどに使われる,数学の技法です。中学校で,XY座標を習います。座標は2次元上で(a,b)などと表現されますが,それを3次元上などでも表現します。ある座標を回転移動・平行移動などさせる演算法則が,いろいろと見つかっています。「難しそう…」と思われがちですが,マスに数字を埋めるパズルのようなイメージで解けます。

今回は,令和4年第29問をやってみます。
「行」と「列」の数が同じのものを「正方行列」といいます。
問題文中の「直行行列」について,説明します。
直行行列とは,正方行列Uが,tUU=E,すなわちtU=U-1を満たす場合をいいます。tUとは,もとの行列Uの「行と列を入れ替えた」ものです。これを,「転置行列」といいます。たとえば,行列Uを,以下のものとした場合,行と列を入れ替えると,

tUは,次のようになります。

Eは「単位行列」といい,対角成分が全て1で、それ以外の数字が全て0であるものをいいます。3×3の正方行列の場合,次のようです。

次に,tUU=E を導くため,「tUU」すなわち,行列の積(掛け算)のルールを押さえます。便宜上,2×2の正方行列を例にすることにします。

直行行列について,転置行列・単位行列,行列の積のやり方を押さえ,いよいよ,本問の検討です。まず,行列Мの転置行列を作りましょう。

aについて,行列の積を利用して,一次方程式を作ります。
(2×3)+(6×2)+(a×6)=0
∴6+12+6a=0
∴a=-3,この時点で,肢1・2が消去されます。
行列tM,Mのaに-3を代入します。

bとcについて,同じく二次方程式を作ります。ここまできたら,あと,少しです。


以上について解くと,b=-6,c=2 したがって,正解は3。
いかがでしょうか…?パズルみたいに解けました。数学(行列)は,こわくない!
絶対合格!!

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